李冶；朱世杰

1248年，金代數(shù)學(xué)家李冶在其著作《測圓海鏡》、《益古演段》，以及元代數(shù)學(xué)家朱世杰的《算學(xué)啟蒙下卷》《四元玉鑒》，都系統(tǒng)地介紹了用天元術(shù)建立二次方程。

天元術(shù)是利用未知數(shù)列方程的一般方法，與現(xiàn)代代數(shù)學(xué)中列方程的方法基本一致，但寫法不同。它首先要“立天元一為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x 為某某”，再根據(jù)問題給出的條件列出兩個相等的代數(shù)式。然后，通過類似合并同類項的過程，得出一個一端為零的方程。天元術(shù)的表示方法不完全一致，按照李冶的記法，方程a0xn+a1xn-1.+an-1x+an=0可寫成如下形式：其中a0，a1，.，an 表示方程各項系數(shù)，均為籌算數(shù)碼，在常數(shù)項旁邊記一“太”字（或在一次項旁邊記一“元”字），“太”或“元”向上每層減少一次冪，向下每層增加一次冪。方程列出后，再按增乘開方法求正實根。

據(jù)史籍記載，金、元之際已有一批有關(guān)天元術(shù)的著作，如蔣周《益古演段》、李文一《照膽》、石信道《鈐經(jīng)》、劉汝鍇《如積釋鎖》等（朱世杰《四元玉鑒》祖頤后序），可惜都已失傳。但在稍晚的李冶和朱世杰的著作中，都對天元術(shù)作了清楚的闡述。

李冶（1192—1279），真定欒城（今河北欒城縣）人。生于大興府（今北京市）。曾為金代詞賦科進(jìn)士，鈞州（今河南禹州市）知州，元翰林學(xué)士知制誥同修國史。晚年隱居于河北元氏縣封龍山下，收徒講學(xué)并勤于著述，與元好問、張德輝交往密切，時人尊稱“龍山三老”。他在數(shù)學(xué)專著《測圓海鏡》（12 卷）中通過勾股容圓問題全面地論述了設(shè)立未知數(shù)和列方程的步驟、技巧、運算法則，以及文字符號表示法等，使天元術(shù)發(fā)展到相當(dāng)成熟的新階段?！兑婀叛荻巍罚? 卷）則是他為天元術(shù)初學(xué)者所寫的一部簡明易曉的入門書。

朱世杰，字漢卿，號松庭，生平不詳。所著《算學(xué)啟蒙》3 卷，內(nèi)容包括常用數(shù)據(jù)、度量衡和田畝面積單位的換算、算四則運算法則、籌算簡法、分?jǐn)?shù)、比例、面積、體積、盈不足術(shù)、高階等差級數(shù)求和、數(shù)字方程解法、線性方程組解法、天元術(shù)等，是一部較全面的數(shù)學(xué)啟蒙書籍。《數(shù)學(xué)啟蒙》曾傳入朝鮮和日本，產(chǎn)生了一定的影響。

天元術(shù)的出現(xiàn)，提供了列方程的統(tǒng)一方法，其步驟要比阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家的代數(shù)學(xué)進(jìn)步得多。而在歐洲，只是到了十六世紀(jì)才做到這一點。此外，宋代創(chuàng)立的增乘開方法又簡化了求解數(shù)學(xué)高次方程正根的運算過程。因此，在這一時期，列方程和解方程都有了簡單明確的方法和程式，中國古典代數(shù)學(xué)發(fā)展到了比較完備的階段。

不僅如此，繼天元術(shù)之后，數(shù)學(xué)家又很快把這種方法推廣到多元高次方程組，如李德載《兩儀群英集臻》有天、地二元，劉大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰創(chuàng)立了四元術(shù)。